Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過點A（1，0）.B（4，0），C（0，2）三點，直線y＝kx+t經過B.C兩點，點D是拋物線上一個動點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E．

（1）求直線和拋物線的解析式；

（2）當點D在直線BC下方的拋物線上運動，使線段DE的長度最大時，求點D的坐標；

（3）點D在運動過程中，若使O.C.D.E為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出滿足條件的所有點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）D（2，﹣1）；（3）點D的坐標是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）時，都可以使O.C.D.E為頂點的四邊形為平行四邊形．

【解析】

（1）利用待定系數法求解可得；

（2）設點D坐標為（m，m2-m+2），則E點的坐標為（m，-m+2），由DE=（-m+2）-（m2-m+2）=-m2+2m=-（m-2）2+2可得答案；

（3）分點D在DE上方和下方兩種情況，用m的代數式表示出DE的長度，依據DE=2得出關于m的方程，解之可得．

（1）把點B（4，0），C（0，2）代入直線y＝kx+t，

得：，解得，

∴y＝﹣x+2；

把點A（1，0）.B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c，

得：，解得，

∴y＝x2﹣x+2；

（2）設點D坐標為（m，m2﹣m+2），E點的坐標為（m，﹣m+2），

∴DE＝（﹣m+2）﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∴當m＝2時，DE的長最大，為2，

當m＝2時，m2﹣m+2＝﹣1，

∴D（2，﹣1）；

（3）①當D在E下方時，如（2）中，DE＝﹣m2+2m，OC＝2，OC∥DE，

∴當DE＝OC時，四邊形OCED為平行四邊形，

則﹣m2+2m＝2，解得m＝2，此時D（2，﹣1）；

②當D在E上方時，DE＝（m2﹣m+2）﹣（﹣m+2）＝m2﹣2m，

令m2﹣2m＝2，解得m＝2，

∴此時D（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+），

綜上所述，點D的坐標是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）時，都可以使O.C.D.E為頂點的四邊形為平行四邊形．