Question

【題目】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）如圖1、用含x的代數式表示△ＭNP的面積S；

（2）如圖2、⊙O與直線BC相切D點，求x的值為多少？

（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）s=（0＜x＜4）；（2）x=；（3）當x=時,y值最大，最大值是2．

【解析】

（1）由平行易得△AMN∽△ABC，根據相似三角形對應線段成比例可用含x的代數式表示出AN，MN，結合矩形的性質可求出△MNP的面積；

（2）連接OD，過M點作MQ⊥BC，由兩組對應角分別相等的兩個三角形相似可得△BQM∽△BAC，由相似三角形對應線段成比例可得x的值；

（3）M點在運動的過程中，P點落在BC上，連接AP，O點就是AP的中點，由△AMO∽△ABP相似的性質可得AM=2，分兩種情況討論①當0＜x≤2時，重合部分的面積即為△MNP的面積，由（1）可得y關于x的函數表達式，根據x的取值范圍確定y最大值即可；②當2＜x＜4時，設PM交BC于E，PN交BC于F，利用矩形AMPN和平行四邊形MBFN的性質可用含x的式子表示出PF，由△PEF∽△ABC的性質可得的面積，根據重合部分的面積可得y關于x的函數表達式，結合函數表達式與自變量x的取值范圍可得y的最大值.

（1）在三角形ABC中∠A=900，AB=4，AC=3

∴BC=5

∵MN//BC

∴△AMN∽△ABC

∴

即

∴AN=，MN=

又∵AMPN為矩形

所以PM=AN=，PN=AM=x

所以△MNP的面積s=PM×PN×=

即s=（0＜x＜4）

（2）AM=x,則MB=4-x

如圖，連接OD，D為切點，過M點作MQ⊥BC，Q為垂足；

依題意可得：OD=OM=ON=

∵MN∥BC

∴OD⊥BC，MQ⊥BC

∴MQ=OD=

∵∠A=∠MQB=900，∠B=∠B

∴△BQM∽△BAC

∴

∴BM=

∴x=

所以當x=時，⊙O與直線BC相切D點.

（3）M點在運動的過程中，P點落在BC上，如圖

連接AP，O點就是AP的中點.

∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABP

∴

∴AM=2

故分兩種情況討論：

①當0＜x≤2時

△MNP與梯形BCNM重合的面積

當x=2時，y有最大值y=

②當2＜x＜4時，如圖

設PM交BC于E，PN交BC于F

AM=x，則MB=4-x

∵四邊形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x

又∵MN∥BC

∴四邊形MBFN是平行四邊形

又∵△PEF∽△ABC

∴

S△PEF=

=

∴當x=時，滿足2＜x＜4，y有最大值，y=2

綜上所述，當x=，y值最大，最大值是2．