Question

【題目】已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED，若ED=EC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C，

∵∠EDC=∠B，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）方法一：

解：連接AE，

∵AB為直徑，

∴AE⊥BC，

由（1）知AB=AC，

∴BE=CE= BC= ，

∵△CDE∽△CBA，

∴ ，

∴CECB=CDCA，AC=AB=4，

∴ 2 =4CD，

∴CD= ．

方法二：

解：連接BD，

∵AB為直徑，

∴BD⊥AC，

設CD=a，

由（1）知AC=AB=4，

則AD=4﹣a，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：

BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2

在Rt△CBD中，由勾股定理可得：

BD2=BC2﹣CD2=（2 ）2﹣a2

∴42﹣（4﹣a）2=（2 ）2﹣a2

整理得：a= ，

即：CD= ．

【解析】（1）由等腰三角形的性質得到∠EDC=∠C，由圓外接四邊形的性質得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可證得結論；（2）連接AE，由AB為直徑，可證得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，證明△CDE∽△CBA后即可求得CD的長．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．