Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，E，F分別為BC，CD上的點，且BD∥平面AEF．
（1）求證：EF∥平ABD面；
（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求證：平面AEF⊥平面ACD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（1）∵BD∥平面AEF，BD平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，

∴BD∥EF，又BD平面ABD，EF平面ABD，

∴EF∥平ABD面．

（2）解：∵AE⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AE⊥CD，

由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，

∴EF⊥CD，

又AE∩EF=E，AE平面AEF，EF平面AEF，

∴CD⊥平面AEF，又CD平面ACD，

∴平面AEF⊥平面ACD

【解析】（1）利用線面平行的性質可得BD∥EF，從而得出EF∥平面ABD；（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD，由BD⊥CD，BD∥EF可得EF⊥CD，從而有CD⊥平面AEF，故而平面AEF⊥平面ACD．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．