Question

【題目】如圖，△ABC 中，點 O 是邊 AC 上一個動點，過 O 作直線 MN∥BC，設 MN 交∠ACB 的平分線于點 E，交∠ACB 的外角平分線于點 F．

（1）求證：OE＝OF；

（2）當點 O 在邊 AC 上運動到什么位置時，四邊形 AECF 是矩形？并說明理由．

（3）若 AC 邊上存在點 O，使四邊形 AECF 是正方形，猜想△ABC 的形狀并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當點 O 在邊 AC 上運動到 AC 中點時，四邊形 AECF 是矩形．見解析；（3）△ABC 是直角三角形，理由見解析.

【解析】

(1)根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠1=∠2,∠3=∠4,進而得出答案;

（2）根據AO=CO,EO=FO可得四邊形AECF平行四邊形,再證明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可

(3)利用正方形的性質得出AC⊥EN,再利用平行線的性質得出∠BCA=90°,即可得出答案

證明：（1）∵MN 交∠ACB 的平分線于點 E，交∠ACB 的外角平分線于點 F，

∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴EO＝CO，FO＝CO，

∴OE＝OF；

（2）當點 O 在邊 AC 上運動到 AC 中點時，四邊形 AECF 是矩形．

證明：當 O 為 AC 的中點時，AO＝CO，

∵EO＝FO，

∴四邊形 AECF 是平行四邊形，

∵CE是∠ACB的平分線，CF是∠ACD的平分線，

∴∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）=90°，

∴平行四邊形 AECF 是矩形．

（3）△ABC 是直角三角形，

理由：∵四邊形 AECF 是正方形，

∴AC⊥EN，故∠AOM＝90°，

∵MN∥BC，

∴∠BCA＝∠AOM，

∴∠BCA＝90°，

∴△ABC 是直角三角形．