Question

【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：如圖1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，斜邊從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．

（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）當(dāng)0°＜α≤45°時，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2=DE2 ． 同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：
小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖2）；
小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；
請你從中任選一種方法進(jìn)行證明．
（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，請你繼續(xù)研究：當(dāng)135°＜α＜180°時（如圖4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？請作出判斷，不需要證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC
（2）解：選擇小穎的方法．
證明：如圖2，連接EF．

由折疊可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，

∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2 ，
∴BD2+CE2=DE2 ．
選擇小亮的方法，
證明：∵將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，

∴△ADB≌△AGC，
∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，
∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，
∴∠EAG=45°，
在△DAE和△GAE中，
，
∴△DAE≌△GAE（SAS），
∴DE=EG，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°，
∴△ECG是直角三角形，
∴CG2+CE2=EG2 ，
即BD2+CE2=DE2
（3）解：當(dāng)135°＜α＜180°時，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立．證明如下：
如圖4，

按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)G．
∵將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，∴AF=AC．
又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
∴∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
∵ ，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．
∴∠DFE=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2 ，
∴BD2+CE2=DE2
【解析】（1）利用等式的基本性質(zhì)和角平分線定義即可證出；（2）利用折疊或旋轉(zhuǎn)，可將BD、CE、DE組合到一個三角形中，利用全等證明得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，證出直角三角形，利用勾股定理得到結(jié)論;（3）借鑒（2）的思路方法，利用折疊的性質(zhì)，可得到全等三角形，再利用其性質(zhì)得到直角三角形，進(jìn)而得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】利用全等三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等；關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上．