Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EM并延長(zhǎng)交線段CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）如圖1，求證：AE=DF；

（2）如圖2，若AB=2，過點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC于點(diǎn)G，求證：△GEF是等腰直角三角形；

（3）如圖3，若AB=2，過點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求線段AE長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3 ）＜AE≤2．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠EAM=∠FDM=90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DFM（ASA），由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，推出四邊ABGH為矩形，得到∠AME+∠AEM=90°，由于∠AME+∠GMH=90°等量代換得到∠AEM=∠GMH，推出△AEM≌△HMG（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=MG，求得∠EGM=45°．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=MF．即可得到結(jié)論；

（3 ）根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到∠A=∠ADC=90°，等量代換得到∠AEM=∠DMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，代入數(shù)據(jù)求得AE=，當(dāng)E、B重合時(shí)，AE最長(zhǎng)為2 ，于是得到結(jié)論．

試題解析：（1）如圖1，在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，

∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM，又∠AME=∠FMD，

在△AEM與△DFM中， ，

∴△AEM≌△DFM（ASA），

∴AE=DF；

（2）如圖2，過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，

∴∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四邊ABGH為矩形，∴∠AME+∠AEM=90°，

∵M(jìn)G⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°∴∠AEM=∠GMH，

∵AD=4，M是AD的中點(diǎn)，∴AM=2，

∵四邊ABGH為矩形，∴AB=HG=2，∴AM=HG，

在△AEM與△HMG中， ，

∴△AEM≌△HMG（AAS），∴ME=MG，∴∠EGM=45°．

由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF．

∵M(jìn)G⊥EF，∴GE=GF，∴∠EGF=2∠EGM=90°．

∴△GEF是等腰直角三角形；

（3 ）當(dāng)C、G重合時(shí)，如圖4，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°，∴∠AME+∠AEM=90°．

∵M(jìn)G⊥EF，∴∠EMG=90°，∴∠AME+∠DMC=90°，∴∠AEM=∠DMC，

∴△AEM∽△DMC∴ ，∴ ，∴AE=，

當(dāng)E、B重合時(shí)，AE最長(zhǎng)為2，

∴＜AE≤2．