Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一動點，連接CD，以CD為直徑的⊙M交AC于點E，連接BM并延長交AC于點F，交⊙M于點G,連接BE．

（1）求證：點B在⊙M上．

（2）當點D移動到使CD⊥BE時，求BC：BD的值．

（3）當點D到移動到使時，求證：AE+CF=EF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BC：BD=；（3）見解析.

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出BM=DM=CM，即可得證；

（2）連接DE，先證得BD=DE ，再證明AE=DE=DB，由勾股定理得到AD=，進一步得出BC=AB=，從而得解；

（3）連接EM,先證出△DME是等邊三角形，得到AE=DE=EM，再證∠EMF=90°,再證出CF=MF，然后由勾股定理可得到EM+MF=EF，即AE+CF=EF.

（1）∵CD為⊙M的直徑

∴CM=DM=CD

∵∠ABC=90°

∴BM=CM=DM=CD

∴點B在⊙M上

（2）如圖，連接DE，

∵CD為⊙M的直徑，CD⊥BE

∴∠DEC=90°, ,

∴∠DEA=90°, BD=DE ，

∵AB=BC，∠ABC=90°,

∴∠A=∠ACB=45° ,

∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=45°,

∴∠ADE=∠A=45°,

∴AE=DE ,

∴AE=DE=DB,

∴AD= ,

∴AB=AD+BD=，

∴BC=AB=

∴BC：BD=

（3）如圖，連接EM,

∵∠EMB=2∠ECB，由（2）知∠ECB=45°，

∴ ∠EMB=90°，

∴ ∠EMF=90°，

∴ EM+MF=EF ，

∵ ，

∴∠CMG=30°，

∴∠DME=60°，

∵DM=EM，

∴△DME是等邊三角形.

∴DE=EM，∠CDE=60°，

由（2）知AE=DE，

∴AE=ME ，

∵∠AEC=90°， ∠CDE=60°，

∴∠DCE=30°，

∴∠DCE=∠CMG=30°

∴CF=MF，

∵ EM+MF=EF

∴ AE+CF=EF.