Question

【題目】如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，AB=4.若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合，點E不與點C重合).

(1)求證：△ABE∽△DCA；

(2)若BE·CD=k（k為常數），求k的值；

(3)在旋轉過程中，當△AFG旋轉到如圖2的位置時，AG與BC交于點E，AF的延長線與CB的延長線交于點D，那么（2）中k的值是否發生了變化?為什么?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）k=16；（3）不變，理由見詳解.

【解析】

（1）由于∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，那么∠BAE=∠CDA，而∠B=∠C=45°，易證△ABE∽△DCA；
（2）由（1）知△ABE∽△DCA，可得，利用AB=CA=4，可求k的值；

（3）不變．由于∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，易得∠BEA=∠CAD，而∠ABE=∠DCA=45°，可證△EBA∽△ACD，利用比例線段可求BECD=ABAC，而根據題意知AB=CA=4，從而可求k的值，可得不變的結論．

解：（1）∵三角形ABC和三角形AFG是兩個全等的等腰直角三角形，

∴∠FAG=∠ACB=45°，∠B=∠C=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+∠B =∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
∴△ABE∽△DCA，

（2）由（1）可知△ABE∽△DCA，

∴，

∴

又∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=4，

∴AB=CA=4，

∴，

即，

（3）不變．
∵∠BEA=∠EAC+∠C =∠EAC+45°，

∠CAD=∠FAG +∠EAC=45°+∠EAC
∴∠BEA=∠CAD，
又∵∠ABE=∠DCA=45°，
∴△EBA∽△ACD，

∴，

∴，