Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是弧的中點，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）當AB＝10，AC＝時，求弧的長；

（3）當AB＝20時，直接寫出△ABC面積最大時，點D到直徑AB的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）5.

【解析】

（1）連接OD，首先證明∠BAD＝∠CAD，然后依據等腰三角形的性質和平行線的性質可證明OD∥AC，然后再證明∠ODE＝90°即可；

（2）連接BC，OC，則∠ACB是直角，利用特殊銳角三角函數值可知∠BAC＝30°，從而可求得∠BOC＝60°，然后依據扇形的弧長公式進行計算即可；

（3）連接OD、BC、OC過點O作OF⊥AC，垂足為F，首先證明四邊形ODEF為矩形，則OF＝ED，然后通過解直角三角形再求得AC、OF的長即可．

（1）連接OD．

∵D是的中點，

∴，

∴∠1＝∠2．

∵OA＝OD，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴OD∥AE．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線．

（2）連接BC，OC，則∠ACB是直角．

當AB＝10，AC＝5時，則cos∠BAC＝

∴∠BAC＝30°，∠BOC＝60°

∴=

（3）如圖所示：連接OD、BC，OC，過點O作OF⊥AC，垂足為F．

由（1）可知OD⊥DE．

∴∠FOD＝∠ODE＝∠DEA＝90°，

∴四邊形ODEF為矩形．

∴OF＝ED．

當∠BAC＝45°時，△ABC為等腰直角三角形，此時△ABC面積最大．

∴AC＝cos45°AB＝×20＝10．

∴DE＝OF＝AC＝5．