Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，點M是邊AB的中點，連結DM，DM與AC交于點G，點E，F分別是CD與DG上的點，連結EF，

(1)求證：CG=2AG.

(2)若DE=6，當以E，F，D為頂點的三角形與△CDG相似時，求EF的長.

(3)若點E從點D出發，以每秒2個單位的速度向點C運動，點F從點G出發，以每秒1個單位的速度向點D運動.當一個點到達，另一個隨即停止運動.在整個運動過程中，求四邊形CEFG的面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) EF=；(3)S四邊形CEFG最小=52.

【解析】

(1)利用矩形的性質及平行線的性質，可證得∠DCG=∠MAG，,∠CDG=∠AMG，△AGM∽△CGD，再利用相似三角形的對應邊相等，可得比例線段，然后證明DC=AB=2AM，即可證得CG與AG的數量關系.

(2)利用勾股定理，分別求出AC、DG的長，再分情況討論：①當∠DEF=∠DCG時，△DEF∽△DCG；②當∠DEF=∠DGC時，△DEF∽△DGC，分別利用相似三角形的性質，得出對應邊成比例，即可求出EF的長.

(3)作GH⊥DC，FN⊥DC，易證△DNF∽△MAD，可證對應邊成比例，求出NF的長，再根據S四邊形CEFG=S△DCG-S△DEF，可得到S與t的函數解析式，再利用二次函數的性質，可求出四邊形CEFG的面積的最小值.

證明：(1)在矩形ABCD中，AB∥DC,

∴∠DCG=∠MAG,∠CDG=∠AMG,

∴△AGM∽△CGD,

∴

∵點M是邊AB的中點,

∴DC=AB=2AM,

∴=2，CG即CG=2AG

(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得AC=,

由(1)得CG=2AG，CG=AC=4，同理可得DG=10

①當∠DEF=∠DCG時,△DEF∽△DCG

∴ 即 ,解得EF=

②當∠DEF=∠DGC時,△DEF∽△DGC

∴ ,即 ,解得EF=

(3)作GH⊥DC,FN⊥DC,

設運動時間為t，則DF=DG-FG=10-t，DE=2t，

∵∠DNF=∠DAM,∠NDF=∠AMD,

∴△DNF∽△MAD

∴ 即 ，解得NF=

∵S四邊形CEFG=S△DCG-S△DEF

∴當t=5時，S四邊形CEFG最小=52