Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上，BD＝DC，過點D作DE⊥AC，垂足為E，⊙O經過A，B，D三點且與AC的另一個交點為F．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）AB＝12，∠BAC＝60°，求線段DE，EF與所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析：（2）

【解析】

（1）連接，利用等腰三角形三線合一性質得到，利用的圓周角所對的弦為直徑即可得證為直徑；由分別為中點，利用中位線定理得到與平行，可得到∠為直角，再由為半徑，即可得證；

（2）由，且∠°，得到為等邊三角形，連接OF，DF也可證得△ODF為等邊三角形，根據等邊三角形的性質和勾股定理可確定出的長，再由S陰影＝S梯形ODEF﹣S扇形ODF求得答案.

（1）如圖1，連接AD，OD．

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴∠ADB＝90°．

∴AB是⊙O的直徑，即點O為AB的中點，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠DEC，

∵DE⊥AC，

∴∠ODE＝∠DEC＝90°，

∴DE是⊙O的切線．

（2）連接OF，DF．

∵OA＝OF，∠BAC＝60°，

∴△OAF是等邊三角形，

∴∠BAC＝∠AOF＝∠AFO＝60°，

∵OD∥AC，

∴∠DOF＝∠AFO＝60°，

又∵OD＝OF，

∴△ODF是等邊三角形，

∴OD＝DF，∠ODF＝60°，

∴∠FDE＝∠ODE﹣∠ODF＝30°，

∵AB是⊙O的直徑，AB＝12，

∴OD＝DF＝6，

∴EF＝3，

由勾股定理得，

∴S陰影＝S梯形ODEF﹣S扇形ODF＝