Question

【題目】如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB．

（1）求線段CD的長；

（2）如果△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長；

（3）如果點F在邊CD上（不與點C、D重合），設AE=x，DF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

試題（1）作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，則DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理計算出AH，從而得到BH和CD的長；

（2）分類討論：當EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，則判斷G點與D點重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如圖1，則AM=AD=，通過證明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可計算出此時的AE長；當GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，可證明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再證明△EAG∽△EDA，則利用相似比可表示出EG=，則可表示出DG，然后證明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的關系．

試題解析：（1）作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；

（2）當EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G點與D點重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如圖1，則AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；

當GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，綜上所述，△AEC是以EG為腰的等腰三角形時，線段AE的長為或15；

（3）作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（）：，∴（9＜x＜）．