Question

8．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延長線于點F，E為垂足，則結論：：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正確結論的個數是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①根據BC=AC，∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°，再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=22.5°，在Rt△ACD與Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，可求出∠EAF=∠FBC，由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC，故可求出AD=BF；
②由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可直接得出結論；
③由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可知，CF=CD，故AC+CD=AC+CF=AF，∠CBF=∠EAF=22.5°，在Rt△AEF中，∠F=90°-∠EAF=67.5°，根據∠CAB=45°可知，∠ABF=180°-∠EAF-∠CAB=67.5°，即可求出AF=AB，即AC+CD=AB；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE=$\frac{1}{2}$BF，在Rt△BCF中，若BE=CF，則∠CBF=30°，與②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根據等腰三角形三線合一的性質即可解答．

解答 解：①∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAF=22.5°，
∵在Rt△ACD與Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，
∴∠EAF=∠FBC，
∵BC=AC，∠EAF=∠FBC，∠BCF=∠AEF，
∴Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴AD=BF；
故①正確；
②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，
故②正確；
③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF，
∵∠CBF=∠EAF=22.5°，
∴在Rt△AEF中，∠F=90°-∠EAF=67.5°，
∵∠CAB=45°，
∴∠ABF=180°-∠F-∠CAB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴AF=AB，即AC+CD=AB，
故③正確；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BE=$\frac{1}{2}$BF，
∵在Rt△BCF中，若BE=CF，則∠CBF=30°，與②中∠CBF=22.5°相矛盾，
故BE≠CF，
故④錯誤；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BF=2BE，
故⑤正確．
所以①②③⑤四項正確．
故選C．

點評 本題考查的是線段垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質，熟知線段垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．