Question

已知，如圖，直線MN交⊙O于A、B兩點，AC是直徑，DE切⊙O于D，DE⊥MN于E．
（1）求證：AD平分∠CAM．
（2）若DE=8cm，AE=4cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由DE與圓O相切，利用切線的性質得到OD垂直于DE，再由DE垂直于MB，得到一對同旁內角互補，利用同旁內角互補兩直線平行，得到OD與MB平行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，再由OD=OA，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換可得出∠DAE=∠OAD，即AD為∠CAE的平分線，得證；
（2）過O作OF垂直于MB，顯然得到四邊形ODEF為矩形，利用矩形的對邊相等得到OD=EF，OF=DE，設圓的半徑為rcm，由DE的長得出OF的長，由EF-AE=OD-EF表示出AF的長，在直角三角形AOF中，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到半徑r的長．

解答：解：（1）證明：連接OD，
∵DE切圓O于D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
又∵DE⊥MB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE+∠DEB=180°，
∴OD∥MB，
∴∠ODA=∠DAE，
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠DAE=∠OAD，
則AD為∠CAM的平分線；
（2）過O作OF⊥AB，顯然四邊形ODEF為矩形，
則OF=DE，OD=EF，
設圓的半徑OD=EF=OA=rcm，由DE=8cm，AE=4cm，
得到OF=8cm，AF=EF-AE=（r-4）cm，
在Rt△AOF中，根據勾股定理得：OA²=AF²+OF²，即r²=（r-4）²+8²，
整理得：8r=80，
解得：r=10cm．

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，平行線的判定與性質，利用了轉化及方程的思想，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．