Question

（2002•岳陽）已知：如圖，直線MN和⊙O切于點C，AB是⊙O的直徑，AE⊥MN，BF⊥MN且與⊙O交于點G，垂足分別是E、F，AC是⊙O的弦，
（1）求證：AB=AE+BF；
（2）令AE=m，EF=n，BF=p，證明：n²=4mp；
（3）設⊙O的半徑為5，AC=6，求以AE、BF的長為根的一元二次方程；
（4）將直線MN向上平行移動至與⊙O相交時，m、n、p之間有什么關系？向下平行移動至與⊙O相離時，m、n、p之間又有什么關系？

Answer 1

分析：（1）連接OC，先利用AE、BF都垂直于MN，而AB≠EF，可證四邊形ABFE是梯形，而O是AB中點，且AE∥OC∥BF，利用平行線分線段成比例定理的推論，易得CE：CF=AO：BO，那么C也是EF中點，從而OC使梯形中位線，利用梯形中位線定理可證AE+BF=2OC，而AB=2OC，即可證；
（2）連接AC、BC，AB是直徑，易得∠ACB是90°，從而∠ACE+∠FCB=90°，而BF⊥MN，易得∠FCB+∠FBC=90°，利用同角的余角相等，可證∠ECA=∠FBC，再加上一對直角相等，容易證出△EAC∽△FCB，可得比例線段，再結合CE=CF=

1

2

EF，代入比例線段，化簡即可得證．
（3）由（2）可求得AE+BF=10，又由勾股定理與相似三角形的性質，求得AE與BF的長，繼而求得AE•BF，即可得以AE、BF的長為根的一元二次方程；
（4）根據題意畫出圖形，由平移可得四邊形EFF′E′是矩形，即可得EF=E′F′，又由EF²=4AE•BF，即可求得答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴AE∥BF，而AB≠EF，
∴四邊形ABFE為梯形，
∵直線MN和⊙O切于點C，
∴OC⊥MN，
∴OC∥AE∥BF，
∴OA=OB，
∴OC為梯形ABFE的中位線，
∴AE+BF=2OC，
即：AB=AE+BF；

（2）證明：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∵∠CBF+∠FCB=90°，
∴∠CBF=∠ECA，
∵∠AEC=∠BFC=90°，
∴△AEC∽△CFB，
∴EC：BF=AE：CF，
∴CF•EC=AE•BF，
∵CF=EC=

1

2

EF，
∴EF²=4AE•BF，
∵AE=m，EF=n，BF=p，
∴n²=4mp；

（3）解：∵AB=AE+BF，⊙O的半徑為5，AC=6，
∴AE+BF=10，BC=

AB2-AC2

=8，
∵△AEC∽△CFB，
∴AC：BC=EC：BF=6：8=3：4，
∵EC=FC，
∴CF：BF=3：4，
設CF=3x，BF=4x，
則（3x）²+（4x）²=64，
解得：x=

8

5

，
即BF=

32

5

，
∴AE=10-

32

5

=

18

5

，
∴AE•BF=

576

25

，
∴以AE、BF的長為根的一元二次方程為：x²-

576

25

x+10=0；

（4）解：由平移的性質，可得：四邊形EFF′E′是矩形，
∴E′F′=EF，
∵EF²=4AE•BF，
∴E′F′²=4AE•BF，
∴n²=4mp；
∴將直線MN向上平行移動至與⊙O相交時，m、n、p之間的關系為：n²=4mp；向下平行移動至與⊙O相離時，m、n、p之間的關系為：n²=4mp．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、一元二次方程根與系數的關系以及平移的性質．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．