Question

（2013•路北區三模）已知：如圖，直線MN交⊙O于A、B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于點D，過點D作DE⊥MN，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠ADE=30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先由等腰三角形的性質，可得∠OAD=∠ODA，易證得DO∥MN，即可得DE⊥OD，即得DE是⊙O的切線；
（2）根據陰影部分的面積等于扇形面積減去等邊△OAB的面積求解即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD（⊙O的半徑），
∴∠OAD=∠ODA（等邊對等角），
∵AD平分∠CAM（已知），
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE（等量代換），
∴DO∥MN（內錯角相等，兩直線平行）；
∵DE⊥MN（已知），
∴DE⊥OD，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：過點O作OF⊥AB于F．
∵∠ADE=30°，DE⊥MN，
∴∠DAE=60°；
又∵AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠DAE=60°，
∴∠CAB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠CAB=

AF

OA

=

1

2

，
∴AF=1；
∴OF=

3

，
∴S_陰影=S_扇形-S_△OAB=

60π×2

180

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

．

點評：此題考查了圓的切線的性質與判定，以及相似三角形的判定與性質和三角函數的性質．此題綜合型性比較強，解題時要注意數形結合思想的應用．