Question

【題目】已知拋物線與直線交于，B兩點，與y軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線AB交軸于點D，且，求點B的坐標；

（3）如圖2，當時，在x軸上有且只有一點P，使，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；

（2）由推出AC=AD，過點A作軸于點M，軸于點N，證明，得到，從而得到AB的解析式，聯立二次函數和一次函數，可得點B坐標；

（3）分別過A，B兩點作軸于點D，軸于點E，證明，則，設AB解析式為，聯立，解出，得到點B坐標，設，代入，再令判別式為零，解出k值即可.

解：（1）拋物線與直線交于，B兩點，與y軸交于點C（0，2），

∴c=2，將A（-1，-1）代入，

解得：b=2，

∴拋物線的表達式為：；

（2）∵，

∴，即，

∴，

過點A作軸于點M，軸于點N，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴AB的解析式為，

聯立，

解得：，（舍），

可求；

（3）分別過A，B兩點作軸于點D，軸于點E，

∵∠APB=90°，

∴∠APD+∠BPE=90°，而∠APD+∠PAD=90°，

∴∠BPE=∠PAD，而∠ADP=∠BEP，

則，

∴，

設AB解析式為，

聯立

∴，

∴，，

設，則，

∴，當軸上只有唯一點P時，，

∴，

∴（舍），．