Question

【題目】如圖，Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，⊙O為△ADB的外接圓，DH⊥AB于點H，現將△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于點C，連接OC交AD于點G．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，求線段OG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接半徑，由同圓的半徑相等得：OA=OD，利用等邊對等角可知：∠OAD=∠ODA，利用翻折的性質可知：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，證OD∥AE，得∠ODE=90°，所以DE與⊙O相切；

（2）先證明△OAC是等邊三角形，再證明OG∥BD，根據中位線定理可知：BD=2OG=5，于是得到結論．

解：（1）連接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

由翻折得：∠OAD＝∠EAD，∠E＝∠AHD＝90°，

∴∠ODA＝∠EAD，

∴OD∥AE，

∴∠E+∠ODE＝180°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE與⊙O相切；

（2）∵將△AHD沿AD翻折得到△AED，

∴∠OAD＝∠EAD＝30°，

∴∠OAC＝60°，

∵OA＝OD，

∴△OAC是等邊三角形，

∴∠AOG＝60°，

∵∠OAD＝30°，

∴∠AGO＝90°，

∴OG＝AO＝．