Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點O是AB邊上一點，以O為圓心OB為半徑的⊙O與邊AB相交于點E，與AC邊相切于D點，連接OC交⊙O于點F．

（1）連接DE，求證：OC∥DE；

（2）若⊙O的半徑為3．

①連接DF，若四邊形OEDF為菱形，弧BD的長為_____（結果保留π）

②若AE＝2，則AD的長為_____．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①2π；②4.

【解析】

（1）利用HL可證明Rt△OCD≌Rt△OCB，可得∠COD＝∠COB，利用三角形外角性質可得∠DOB＝∠ODE+∠OED，即可證明∠DOC＝∠ODE，即可得OC//DE；（2）①根據菱形的性質可求出∠BOD，利用弧長公式即可得答案；②由DE∥OC，推出＝＝，設AD＝2k，CD＝3k，由Rt△OCD≌Rt△OCB，可得BC＝CD＝3k，在Rt△ABC中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．

（1）證明：連接OD．

∵AC是切線，

∴OD⊥AC，∠ODC＝∠OBC＝90°，

∵OC＝OC，OD＝OB，

∴Rt△OCD≌Rt△OCB（HL），

∴∠COD＝∠COB，

∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∵∠DOB＝∠ODE+∠OED，

∴∠DOC＝∠ODE，

∴DE∥OC．

（2）①∵四邊形DEOF是菱形，

∴DF＝OD＝OF，

∴△ODF是等邊三角形，

∴∠DOF＝60°，

∴∠BOD＝2∠DOC＝120°，

∴的長＝＝2π．

故答案為2π．

②∵DE∥OC，

∴＝＝，

設AD＝2k，CD＝3k，

∵Rt△OCD≌Rt△OCB，

∴BC＝CD＝3k，

在Rt△ABC中，則有25k2＝9k2+82，

∴k＝2或﹣2（舍棄），

∴AD＝4．

故答案為4．