Question

【題目】已知：如圖，拋物線的頂點D的坐標為（1，－4），且與y軸交于點C（0，－3）．

（1）求該函數的關系式及該拋物線與x軸的交點A，B的坐標．

（2）請直接寫出△ABC的外心M的坐標．

（3）點E為該拋物線上一動點，且滿足tan∠ABE=tan∠ACB，請求出點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1） ，A（-1，0） B（3，0）；（2） （1，-1）；（3）（-），（-，-）．

【解析】

（1）利用頂點式即可解決問題，令y=0，解方程即可得到A、B的坐標；

（2）由外心為三邊中垂線的交點，得到外心M在拋物線的對稱軸x=1上，設M（1，y），根據MA=MC，用兩點間的距離公式列方程，求解即可；

（3）連接AC、BC．過A作AF⊥CB于F．先求出tan∠ACB的值，即可得到tan∠ABE的值．分兩種情況討論：①當E在x軸上方時，如圖1，過E作EG⊥x軸于G，連接EB．設E（x，x2-2x-3），則EG= x2-2x-3，GB=3-x，由tan∠ABE=，列方程求出x的值，即可得到E的坐標；②當E在x軸上方時，如圖2，同理可求E的坐標．

（1）設拋物線頂點式為y=a（x﹣1）2－4，將C（0，－3）代入得：a-4=－3，解得：a=1，所以拋物線的關系式為：y=（x﹣1）2﹣4=x2-2x-3，令y=0，即：（x﹣1）2﹣4=0，解得：x1=3，x2=﹣1．∴坐標為A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）∵外心為三邊中垂線的交點，∴外心M在拋物線的對稱軸x=1上，設M（1，y）．

∵MA=MC，∴，解得：y=－1，∴M（1，－1）；

（3）連接AC、BC．過A作AF⊥CB于F．AB=3－（－1）=4，BC=．

∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∴AF=BF=，∴CF=BC-BF=，∴tan∠ACB==2，∴tan∠ABE=tan∠ACB=．/span>

分兩種情況討論：①當E在x軸上方時，如圖1，過E作EG⊥x軸于G，連接EB．設E（x，x2-2x-3），則EG= x2-2x-3，GB=3-x．

∵tan∠ABE=，∴，∴，解得：，（舍去），∴x=，y= x2-2x-3=，∴E（，）；

②當E在x軸上方時，如圖2，過E作EG⊥x軸于G，連接EB．設E（x，x2-2x-3），則EG= -x2+2x+3，GB=3-x．

∵tan∠ABE=，∴，∴，解得：，（舍去），∴x=，y= x2-2x-3=，∴E（，）．

綜上所述：E的坐標為（，）或（，）．