Question

如圖，拋物線與x軸相交于B，C兩點，與y軸相交于點A，P（2a，－4a²＋7a＋2）（a是實數）在拋物線上，直線y=k x +b經過A，B兩點．

（1）求直線AB的解析式；
（2）平行于y軸的直線x=2交直線AB于點D，交拋物線于點E．
①直線x=t（0≤t≤4）與直線AB相交F，與拋物線相交于點G．若FG∶DE＝3∶4，求t的值；
②將拋物線向上平移m(m＞0)個單位，當EO平分∠AED時，求m的值．

Answer 1

（1）（2）①t₁=1，t₂="3" ②

試題分析：（1）∵P（2a，－4a²＋7a＋2）（a是實數）在拋物線上，
∴拋物線的解析式為y=－4a²＋7a＋2=－4×()²＋7×＋2=－x²＋x＋2．
當y=0時，即－x²＋x＋2=0，解得x₁=－，x₂=4．
當x=0時，y=2．
∴A（0，2），B（4，0），C（－，0）．
∴解得
故直線AB的解析式為y=－x＋2．
（2）①∵點E（2，5），D（2，1），G（t，－ t²＋t＋2），F（t，－t＋2），
∴DE=4，FG=－t²＋t＋2－(－t＋2)=－t²＋4t．
∵FG∶DE＝3∶4，
∴－t²＋4t=3．
解得t₁=1，t₂=3．
②設點A（0，2+m），則點E（2，5+m）
作AH⊥DE，垂足為H．
∴AE²=AH²+HE²=2²+(5+m－2－m)²=13．即AE=．
∵EO平分∠AED，∴∠AEO＝∠DEO．
∵AO∥ED，∴∠DEO＝∠AOE．
∴∠AEO＝∠AOE．

∴AO=AE，即2+m=．解得m=2－
點評：該題主要考查學生利用待定系數法求一次函數解析式以及分析二次函數在坐標系中的幾何意義，是常考題。