Question

如圖，在平面直角坐標系中0A＝2，0B＝4，將△OAB繞點O順時針旋轉90°至△OCD，若已知拋物線過點A、D、B.
  
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連結DB，將△COD沿射線DB平移，速度為每秒個單位.
①經過多少秒O點平移后的O′點落在線段AB上？
②設DO的中點為M，在平移的過程中，點M、A、B能否構成等腰三角形？若能，求出構成等腰三角形時M點的坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）① ；②（－1，－1）或（）或（4，－6）

試題分析：（1）先根據題意求的點A、B、D的坐標，再根據待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（2）①設經過t秒O點平移后的O′點落在線段AB上，即可得到點O′的坐標為(t，-t)，再求得直線AB解析式，從而求得結果；②先根據線段中點的性質得到點M的坐標，再分MA=MB、AB=AM、BA=BM三種情況求解即可.
（1）由題意得A（2，0） B(0，-4)  D(-4，0)
∴，解得
∴此拋物線的解析式為；
（2）①設經過t秒O點平移后的O′點落在線段AB上，
則點O′的坐標為(t，-t)
易得AB解析式為，則，解得
答：經過秒O點平移后的O′點落在線段AB上；
（3）由題意得DO的中點M的坐標為（）
當MA=MB時，可得M（－1，－1）
當AB=AM時，可得M（）
當BA=BM時，可得M（4，－6）.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．