Question

“數缺形時少直觀，形少數時難入微”．小明學習上愛動腦，在計算

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…的值時構造了這樣一個圖形：如圖，正△ABC面積為

1

3

，分別取AC、BC兩邊的中點D、E，再分別取CD、CE的中點，依次取下去…，能直觀地求出它的值．也請你根據這個圖形計算：

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…=______．

Answer 1

設第n個小三角形的面積為s_n，則s_n=

4-n

3

根據中位線定理，得出小三角形的面積是對應梯形面積的

1

3

即s_n=

1

3

•

4-n-1-4-n

3

=

4-n-1-4-n

9

那么，s₁+s₂+s₃+…+s_n=

1

9

（1-4^-1+4^-1-4^-2+…+4^-n-2-4^-n-1+4^-n-1-4^-n）=

1-4-n

9

同時，s₁+s₂+s₃+…+s_n=

4-1+4-2+4-3+…+4-n

3

以上兩式聯立解得：

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…=

1-4-n

3