Question

【題目】已知線段AB＝8（點A在點B的左側）

（1）若在直線AB上取一點C，使得AC＝3CB，點D是CB的中點，求AD的長；

（2）若M是線段AB的中點，點P是線段AB延長線上任意一點，請說明PA+PB﹣2PM是一個定值．

Answer 1

【答案】（1）AD的長為7或10；（2）PA+PB﹣2PM是一個定值0．說明見解析

【解析】

（1）①當點C在線段AB上時，如圖1，②當點C在線段AB的延長線上時，如圖2，③當點C在BA的延長線上時，明顯，次情況不存在；列方程即可得到結論；

（2）如圖3，設BP＝x，則PA＝AB+BP＝8+x，PM＝AB+BP＝4+x，代入PA+PB﹣2PM即可得到結論．

（1）①當點C在線段AB上時，如圖1，

∵AC＝3BC，

設BC＝x，則AC＝3x，

∵AB＝AC+BC，

∴8＝3x+x，

∴x＝2，

∴BC＝2，AC＝6，

∵點D是CB的中點，

∴CD＝BD＝BC＝1，

∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；

②當點C在線段AB的延長線上時，如圖2，

設BC＝x，AC＝3BC＝3x，

∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，

∴x＝4，

∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，

∵點D是CB的中點，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；

③當點C在BA的延長線上時，明顯，次情況不存在；

綜上所述，AD的長為7或10；

（2）如圖3，

設BP＝x，則PA＝AB+BP＝8+x，PM＝AB+BP＝4+x，

∴PA+PB﹣2PM＝8+x+x﹣2（4+x）＝0，

∴PA+PB﹣2PM是一個定值0．