Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，點M是直線BC上一動點，且∠CAM+∠CBA=45°，則BM的長為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

延長CA到E，使CE=BC=3，連接BE，作AF⊥BE，可求∠E=∠EBC=45°，根據勾股定理可求AB，AF，EF，BF的長度，可證△ABF∽△AMC，可得CM的長度，即可求BM的長度．

若點M在BC上，如圖：延長CA到E，使CE＝BC＝3，連接BE，作AF⊥BE,

∵BC＝CE＝3，∠C＝90°，AC＝2,

∴AE＝1，∠E＝∠EBC＝45°,

∵AF⊥BE，

∴∠E＝∠EAF＝45°,

∴AF＝EF且AE＝1,

∴根據勾股定理可得EF＝AF＝,

∵BC＝3，AC＝2,

∴AB＝,

在Rt△ABF中，BF＝,

∵∠EBA+∠ABC＝45°，∠CAM+∠CBA＝45°,

∴∠MAC＝∠EBA，且∠C＝∠AFB＝90°,

∴△ABF∽△AMC,

∴,

∴CM＝,

∴BM＝BC﹣CM＝3﹣＝,

若點M在BC延長線上，可得 BM＝BC+CM＝,

故答案是：或.