Question

【題目】如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當∠BAE為多少度時，四邊形AECF是菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當∠BAE=30°時，四邊形AECF是菱形

【解析】

（1）首先證明△ABE≌△CDF，則DF=BE，然后可得到AF=EC，依據一組對邊平行且相等四邊形是平行四邊形可證明AECF是平行四邊形；

（2）由折疊性質得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到結論．

（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．

由翻折的性質可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA．

∴∠EAB=∠DCF．

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴DF=BE．

∴AF=EC．

又∵AF∥EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當∠BAE=30°時，四邊形AECF是菱形，

理由：由折疊可知，∠BAE=∠CAE=30°，

∵∠B=90°，

∴∠ACE=90°-30°=60°，

即∠CAE=∠ACE，

∴EA=EC，

∵四邊形AECF是平行四邊形，

∴四邊形AECF是菱形．