Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系內，A，B為x軸上兩點，以AB為直徑的⊙M交y軸于C，D兩點，C為的中點，弦AE交y軸于點F，且點A的坐標為（2，0），CD＝8

（1）求⊙M的半徑；

（2）動點P在⊙M的圓周上運動．

①如圖1，當FP的長度最大時，點P記為P，在圖1中畫出點P0，并求出點P0橫坐標a的值；

②如圖1，當EP平分∠AEB時，求EP的長度；

③如圖2，過點D作⊙M的切線交x軸于點Q，當點P與點A，B不重合時，請證明為定值．

Answer 1

【答案】（1）r＝5；（2）①點P0橫坐標a的值等于3+2，②EP＝7，③．

【解析】

（1）由垂徑定理可知OD＝4，連接OD在Rt△OMD中用勾股定理即可求出r．

（2）①連接FM并延長交⊙M于點P，FP長度最大．由已知可得AF＝CF，由勾股定理求OF＝，過P點作PH⊥OB，△OFM∽△HPM，由相似三角形對應邊成比例可求MH，即可求出P點橫坐標．

②過P點作PG⊥AE，連接AP、BP．當EP平分∠AEB時，可得△BAP和△EGP均為等腰直角三角形，由勾股定理可求PG＝GE＝7，進而可得EP的長．

③由DQ與⊙M于D點，可得△QMD∽△MDO，又MD＝MP，可得，進而證明△QMP∽△PMQ，即可由相似三角形性質求解．

（1）如圖（1）：連接OD，

∵直徑AB⊥CD，CD＝8，

∴OD＝CD＝4，

連接MD設MD＝MA＝r，

在Rt△OMD中．由OM2+OD2＝MD2，

得（r﹣2）2+42＝r2．解得r＝5，

（2）①如圖1（1），連接FM并延長交⊙M于點P記作P0，FP長度最大．

∵直徑AB⊥CD，C為的中點，

∴．

∴∠ACF＝∠CAF，

∴AF＝CF，

在Rt△AFO中，OA＝2，AF＝CF＝4﹣OF，

∴OF2+22＝（4﹣OF）2，解得：OF＝，

∴MF＝，

過P點作PH⊥OB，

∴△OFM∽△HPM，

∴，

∴，

∴MH＝，

∴點P0橫坐標a的值等于3+．

②如圖1（2）

∵．

∴，

∴AE＝CD＝8，

∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，

過P點作PG⊥AE，連接AP、BP．

當EP平分∠AEB時，∠BAP＝∠BEP＝∠AEP＝∠ABP＝45°，

△BAP和△EGP均為等腰直角三角形，∵AB＝10，

∴AP＝，

設EG＝PG＝b，在Rt△AGP中，PG2+AG2＝AP2，

即：,

解得：b＝7，b＝1（舍去）．

∴EP＝EG＝．

③如圖2：連接PM、DM，

∵DQ與⊙M于D點，

∴∠MDQ＝90°＝∠DOM，

∴∠QMD＝∠DMO，

∴△QMD∽△MDO，

∴，

又∵MD＝MP，

∴，

又∵∠OMP＝∠PMQ，

∴△QMP∽△PMQ，

∴．