Question

【題目】如圖1，在矩形中，，，是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點恰好落在邊上點處，延長交的延長線于點．

（1）求線段的長；

（2）如圖2，，分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設，．

①寫出關于的函數解析式，并求出的最小值；

②是否存在這樣的點，使是等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當時，有最小值，最小值；②存在．滿足條件的的值為或．

【解析】

由翻折可知：，設，則在中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．
證明∽，可得，由此即可解決問題．
有兩種情形：如圖中，當時如圖中，當時，作于分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形是矩形，

∴，，

∴，

由翻折可知：．，設，則．

在中，，

∴，

在中，則有：，

∴，

∴．

（2）①如圖2中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

當時，有最小值，最小值．

②存在．有兩種情形：如圖3-1中，當時，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

如圖3-2中，當時，作于．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

由，可得，

∴，

∴，

∴．

綜上所述，滿足條件的的值為或．