Question

【題目】已知：如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣1，0），點C（0，5），另拋物線經過點（1，8），M為它的頂點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積S△MCB ．
（3）在坐標軸上，是否存在點N，滿足△BCN為直角三角形？如存在，請直接寫出所有滿足條件的點N．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），

則有： ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5

（2）

解：令y=0，得（x﹣5）（x+1）=0，x1=5，x2=﹣1，

∴B（5，0）．

由y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，得頂點M（2，9）

如圖1中，作ME⊥y軸于點E，

可得S△MCB=S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC= （2+5）×9﹣ ×4×2﹣ ×5×5=15

（3）

解：存在．如圖2中，

∵OC=OB=5，

∴△BOC是等腰直角三角形，

①當C為直角頂點時，N1（﹣5，0）．

②當B為直角頂點時，N2（0，﹣5）．

③當N為直角頂點時，N3（0，0）．

綜上所述，滿足條件的點N坐標為（0，0）或（0，﹣5）或（﹣5，0）

【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5），（1，8）三點代入二次函數解析式，解方程組即可．（2）先求出M、B、C的坐標，根據S△MCB=S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC即可解決問題．（3）分三種情①C為直角頂點；②B為直角頂點；③N為直角頂點；分別求解即可．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．