Question

【題目】正方形OABC的邊長為1，把它放在如圖所示的直角坐標系中，點M（t，0）是x軸上一個動點（t≥1），連接BM，在BM的右側作正方形BMNP；直線DE的解析式為y=2x+b，與x軸交于點D，與y軸交于點E，當△PDE為等腰直角三角形時，點P的坐標是_____．

Answer 1

【答案】（4，4）或（4，2）．

【解析】

過點P作PF⊥BC交CB的延長線于點F，根據同角的余角相等可得∠ABM=∠FBP，然后利用“角角邊”證明△ABM和△FBP全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=AB，PF=AM，然后根據正方形OABC的邊長為2以及點M（t，0）表示出點P的坐標，再利用直線DE的解析式求出點D、E的坐標，然后分①DE是斜邊時，利用勾股定理以及兩點間的距離公式分別表示出PD、PE、DE的平方，再根據等腰直角三角形的三邊關系，②PD是斜邊時，過點P作PF⊥y軸于點F，然后利用“角角邊”證明△EDO和△PEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=DO，PC=EO，然后用b、t表示并求解即可得到點P的坐標．

如圖，

過點P作PF⊥BC交CB的延長線于點F，

∵四邊形OABC與四邊形BMNP都是正方形，

∴∠ABM+∠MBF=90°，

∠FBP+∠MBF=90°，

∴∠ABM=∠FBP，

在△ABM和△FBP中，

，

∴△ABM≌△FBP（AAS），

∴BF=AB，PF=AM，

∵正方形OABC的邊長為1，點M（t，0），

∴BF=1，PF=t-1，

點P到x軸的距離為t-1+1=t，

∴點P的坐標為（2，t），

又∵當y=0時，2x+b=0，解得x=-，

當x=0時，y=b，

∴點D（-，0），E（0，b），

DE是斜邊時，

PD2=（+2）2+t2，PE2=（b-t）2+22，DE2=（）2+b2，

∵△PDE是等腰直角三角形，

∴PD2=PE2，且PD2+PE2=DE2，

即（+2）2+t2=（b-t）2+22，且（+2）2+t2+（b-t）2+22=（）2+b2，

b2+2b+4+t2=b2-2bt+t2+4，且b2+2b+4+t2+b2-2bt+t2+4=b2+b2，

整理得，b=（t+2）且t2-b（t-2）+16=0，

∴t2-（t+2）（t-2）+16=0，

整理得，t2=16，

解得t1=4，t2=-4（舍去），

∴點P的坐標是（4，4）；

②PD是斜邊時，∵△PDE是等腰直角三角形，

∴PE⊥DE，且PE=DE，

過點P作PF⊥y軸于點F，

∵∠DEO+∠PEO=90°，∠DEO+∠EDO=90°，

∴∠PEO=∠EDO，

在△EDO和△PEF中，

，

∴△EDO≌△PEF（AAS），

∴EF=DO=，PC=EO=b，

又∵點P（4，t），

∴b=4，b-t=，

解得t==×4=2，

∴點P坐標為（4，2），

此時點C、F重合，點M、A重合，

綜上所述，點P的坐標為（4，4）或（4，2）．

故答案為：（4，4）或（4，2）．