Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點A，并經過B（4，4）和C（6，0）兩點，點D的坐標為（4，0），連接AD，BC，點F從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段OC方向運動，到達點C后停止運動：點M同時從點D出發以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運動，當點F停止時點M也停止運動．設點F的運動時間為t秒，過點F作AB的垂線EF交直線AB于點E，交AD于點H．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以線段EH為斜邊向右作等腰直角△EHG，當點G落在第一象限內的拋物線上時，求出t的值；

（3）設△EFM與四邊形ADCB重合時的面積為S，請直接寫出S與t的函數關系式與相應的自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）t＝；（3）S＝．

【解析】

（1）由題意得：函數的對稱軸為：x＝2，則函數與x軸的另外一個交點坐標為（2，0），則函數的表達式為：y＝a（x＋2）（x6）＝a（x24x12），即可求解；

（2）求出點G（，），將點G的坐標代入表達式，即可求解；

（3）分0＜t≤2、2＜t≤6兩種情況分別求解即可．

（1）由題意得：函數的對稱軸為：x＝2，則函數與x軸的另外一個交點坐標為（﹣2，0），

則函數的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12），

則﹣12a＝4，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+4；

（2）將點A、D的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線AD的表達式為：y＝﹣x+4，

則點E、F的坐標分別為：（t，4）、（t，0），

則點H（t，4﹣t），則點G（，4﹣t），

將點G的坐標代入表達式得：4﹣t＝﹣·（）2+·+4，

解得：t＝；

（3）點M（t+4，0），點E（t，4）、點F（t，0），

①當0＜t≤2時，設EF交AD于點N（t，4﹣t），

S＝S△EFM﹣S△FND＝8﹣×（4﹣t）2＝﹣t2+4t，

②2＜t≤6時，

設直線EM交BC于點R，EF交AD于點K（t，4﹣t），

同理可得：直線ME的表達式為：y＝﹣x+t+4，

直線BC的表達式為：y＝﹣2x+12，

聯立上述兩式并解得：x＝8﹣t，

故點R（8﹣t，2t﹣4），

S＝S△EFM﹣S△RCM﹣S△KFD＝4×4﹣（t+4﹣6）（2t﹣4）﹣×（4﹣t）2＝﹣t2+8t﹣4；

故S＝．