Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，對稱軸為，直線與拋物線相交于、兩點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）為拋物線上一動點，且位于的下方，求出面積的最大值及此時點的坐標；

（3）設點在軸上，且滿足，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時，取最大值，此時點坐標為.

（3）或17.

【解析】

（1）根據對稱軸與點A代入即可求解；

（2）先求出，過點作軸的平行線，交直線于點，設，得到，，表示出，根據二次函數的性質即可求解；

（3）根據題意分①當在軸正半軸上時， ②當在軸負半軸上時利用相似三角形的性質即可求解.

（1）∵對稱軸為x＝1，

∴＝1，

∴b＝2a，

∴y＝ax2＋2ax5，

∵y＝x＋3與x軸交于點A（3，0），

將點A代入y＝ax2＋2ax5可得a＝

∴.

（2）令，解得：，，

∴，

過點作軸的平行線，交直線于點，

設，則，

∴，，

則，

∵，

∴當時，取最大值，

此時點坐標為.

（3）存在，

理由：①當在軸正半軸上時，如圖，

過點作于，

根據三角形的外角的性質得，，

又∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

設，則，

又∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

②當在軸負半軸上時，記作，

由①知，，取，如圖，

則由對稱知：，

∴，

因此點也滿足題目條件，∴，

綜合以上得：或17.