Question

【題目】已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是過點A的直線，DB⊥MN于點B．

（1）如圖，求證：BD+AB＝BC；

（2）直線MN繞點A旋轉，在旋轉過程中，當∠BCD＝30°，BD＝時，求BC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC＝+1或﹣1．

【解析】

(1)過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，易證：∠BCD＝∠ACE，∠CBD＝∠CEA，進而證明△ACE≌△DCB（AAS），可得：△ECB為等腰直角三角形，即：BE＝CB，進而得到結論；

(2)分兩種情況討論：①當C，D在直線MN的同側時，②當C，D在直線MN的異側時，分別求出BC的值，即可.

（1）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，如圖1，

∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，

∴∠BCD＝∠ACE，

∵DB⊥MN，

∴∠ABC+∠CBD＝90°，

∵CE⊥CB

∴∠ABC+∠CEA＝90°，

∴∠CBD＝∠CEA．

又∵AC＝DC，

∴△ACE≌△DCB（AAS），

∴AE＝DB，CE＝CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE＝CB．

又∵BE＝AE+AB，

∴BE＝BD+AB，

∴BD+AB＝CB.

（2）①當C，D在直線MN的同側時，連接AD，過點D作DF⊥BC于點F，如圖2，

∵AC＝CD，∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∵∠ACD＝∠ABD＝90°，

∴點A，點C，點D，點B四點共圓，

∴∠CAD＝∠CBD＝45°，且DF⊥BC，

∴∠FBD＝∠FDB＝45°，且BD＝，

∴BF＝DF＝1，

∵∠BCD＝30°，DF⊥BC，

∴CF＝DF＝，

∴BC＝CF+BF＝+1，

②當C，D在直線MN的異側時，連接AD，過點D作DF⊥BC于點F，如圖3，

∵AC＝CD，∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∵∠ACD＝∠ABD＝90°，

∴點A，點C，點D，點B四點共圓，

∴∠CAD＝∠DBF＝45°，且DF⊥BC，

∴∠FBD＝∠FDB＝45°，且BD＝，

∴BF＝DF＝1，

∵∠BCD＝30°，DF⊥BC，

∴CF＝DF＝，

∴BC＝CF﹣BF＝﹣1．

圖1 圖2 圖3