Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xoy中，二次函數的圖象與x軸的交點為A，B，頂點為C，點D為點C關于x軸的對稱點，過點A作直線l：交BD于點E，連接BC的直線交直線l于K點.

（1）問：在四邊形ABKD內部是否存在點P，使它到四邊形ABKD四邊的距離都相等？

若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（2）若M，N分別為直線AD和直線l上的兩個動點，連結DN，NM，MK，如圖2，求DN+NM+MK和的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 四邊形ABCD內部存在點P（2，）到四邊形ABCD四邊的距離相等；（2）8.

【解析】

（1）由拋物線解析式求點A、B、C、D的坐標，求直線BC解析式，把直線BC與直線l的解析式聯立方程組，求得的解為點K坐標，因此求得AB=BK=KD=AD=4，即四邊形ABKD為菱形．由菱形性質可知對角線平分一組對角，故對角線AK、BD交點E在菱形四個內角的平分線上，所以點E到四邊距離相等，即為符合題意的點P．

（2）由菱形性質可知點B、D關于直線AK對稱，故有DN=BN，所以當點B、N、M在同一直線上時，DN+MN=BN+MN=BM最小．作點K關于直線AD對稱點Q，得MK=MQ，所以當點Q、M、B在同一直線上時，BM+MK=BM+MQ=BQ最小，即BQ的長為DN+NM+MK的最小值．由AK平分∠DAB可求得點K到直線AD距離等于點K的縱坐標，進而求得KQ的長；再由BK∥AD得∠BKQ=∠DRQ=90°，利用勾股定理即求得BQ的長．

（1）在四邊形ABKD內部存在點P到四邊形ABKD四邊的距離都相等．

當y=0時，

解得：x1=-1，x2=3

∴A（-1，0），B（3，0），AB=4

∵

∴頂點C（1，-2）

∵點D為點C關于x軸的對稱點

∴D（1，2），

設直線BC解析式為y=bx+c

∴, 解得：

∴直線BC：

∵,解得：

∴K（5，2）

∴，DK∥x軸，DK=5-1=4

∴AB=BK=DK=AD=4

∴四邊形ABKD是菱形

∴對角線AK、BD平分一組對角，

∴AK、BD交點E（1，）到菱形四邊距離相等

∴點P與點E重合時，即符合題意的點

∴在四邊形ABKD內部存在點P（1，）到四邊形ABKD四邊的距離都相等．

（2）過點K作KF⊥x軸于點F，作點K關于直線AD的對稱點Q，KQ與直線AD相交于點R，連接MQ、QB、NB

∵菱形ABKD中，AK與BD互相垂直平分

∴點B、D關于直線AK對稱

∴DN=BN

∴當點B、N、M在同一直線上時，DN+NM=BN+NM=BM最小

∵點K、Q關于直線AD對稱

∴KQ⊥AD，QR=KR，MK=MQ

∴當點Q、M、B在同一直線上時，BM+MK=BM+MQ=BQ最小

∴BQ的長為DN+NM+MK的最小值

∵AK平分∠DAB，KF⊥AB，KR⊥AD，yK=2

∴KF=KR=2

∴KQ=2KR=4

∵BK∥AD

∴∠BKQ=∠DRQ=90°

∴Rt△BKQ中，BQ=

∴DN+NM+MK和的最小值為8．