【題目】如圖1，在
中，
，
是
邊上一動點，以點
為頂點，
為一腰作等腰
，使
，且
，設
，
，我們稱為的“頂補三角形”．
（1）求
與
的數量關系；
（2）如圖2，為的“頂補三角形”，過點
作
的平行線，交
于點
，若四邊形
是平行四邊形，求證：
；
（3）如圖3，四邊形
中，
，
，點
在
上，
，
B，
，且
，
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）見解析；（3）
【解析】
（1）根據等腰三角形的內角關系可以得到
，
，再結合
，即可求出
和
的關系；
（2）由于四邊形
是平行四邊形，所以
,則
,同時由
得到
，在（1）中得到“頂補三角形”的性質，
，所以
，即可得證；
（3）連接
,由已知條件可以證得
，所以
,根據三角形的外角定理可以得到
,結合已知條件
，可以得到
，而
，，所以
是
的“頂補三角形”，結合在（1）中得到“頂補三角形”的性質可以得到
，過點
分別作
，
上的高
，
，可以證得
，相似比為
，所以
，與此同時結合等腰三角形的性質可以得
，
，所以
，而
，所以
，
則，即可求解；
解：（1）∵在
中，
，
，．
在
中，
，
，．
，
．
．
（2）
為的“頂補三角形”，
，
．
四邊形是平行四邊形，
．
．
．
．
（3）連接，
，
，
，
．
．
．
．
，
．
．
又，，
是的“頂補三角形”．
．
過點分別作，上的高，．
則有
．
．
同理可證
．
．
，分別是等腰與等腰底邊上的高，
，．
，
，，
．
．
，
，即．
．
．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是過點A的直線，DB⊥MN于點B．
（1）如圖，求證：BD+AB＝
BC；
（2）直線MN繞點A旋轉，在旋轉過程中，當∠BCD＝30°，BD＝時，求BC的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，已知二次函數
(
為常數，
)的圖象過點
和點
，函數圖象最低點
的縱坐標為
．直線
的解析式為
求二次函數的解析式；
直線沿
軸向右平移，得直線
，與線段
相交于點
，與軸下方的拋物線相交于點
，過點作
軸于點
，把
沿直線折疊，當點恰好落在拋物線上點
時(圖求直線的解析式；
在的條件下，與
軸交于點
，把
繞點
逆時針旋轉
得到
，P為上的動點，當
為等腰三角形時，求符合條件的點
的坐標．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是
的直徑，點
在上，點
是上一動點，且與點分別位于直徑的兩側，
，過點作
交
的延長線于點
；
（1）當點運動到什么位置時，
恰好是的切線？畫出圖形并加以說明．
（2）若點與點關于直徑對稱，且
，畫出圖形求此時的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】將如圖所示的牌面數字分別是1，2，3，4的四張撲克牌背面朝上，洗勻后放在桌面上．
（1）從中隨機抽出一張牌，牌面數字是偶數的概率是__________；
（2）先從中隨機抽出一張牌，將牌面數字作為十位上的數字（不放回），再隨機抽取一張，將牌面數字作為個位上的數字，請用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數恰好是3的倍數的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】綜合與實踐
問題情境
在綜合與實踐課上，同學們以“三角形的折疊”為主題開展數學活動．
操作發現
“楊輝”小組的同學用一張鈍角三角形紙片
，
為鈍角，進行了如下操作：
第一步：如圖1，折出
的角平分線
；
第二步：如圖2，展平紙片，再次折疊該三角形紙片，使預點
與點
重合，拆痕
分別與
，
交于點
，
；
第三步：如圖3，再次展平紙片，連接
，
，可得四邊形
．
（1）在圖4的中利用尺規作出折痕，；
（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
實踐探究
（2）試判斷圖3中四邊形的形狀，并寫出證明過程；
深入探究
（3）“陳景潤”小組的同學突發奇想，在“楊輝”小組同學操作的基礎上設計了這樣一個問題：在圖3中，連接
，分別交于點
，交
于點
，若
，
，利用相似三角形的知識可以求出
的長．請你寫出求解過程．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作正方形BCEF，設正方形的中心為O，連接AO，如果AB=4，AO=6
，那么AC=_____．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：
（1）當t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；
（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應的時間t；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點P為BC上一動點（不與端點重合），連接AP，將△ABP沿著AP折疊．點B落到M處，連接BM、CM，若△BMC為等腰三角形，則BP的長度為_____．
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