Question

14．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連結(jié)CD，動點(diǎn)P、Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，點(diǎn)P沿BC邊C→B→C以 2a cm/s的速度運(yùn)動；點(diǎn)Q沿CA邊C→A以 a cm/s的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動，以CQ，CP為邊作矩形CQMP，當(dāng)矩形CQMP與△CDB重疊部分的圖形是四邊形使，設(shè)重疊部分圖形的面積為y（cm²）．P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動時間為t（s），在點(diǎn)P由C→B過程中，y與t的圖象如圖2所示．

（1）求a、m的值；
（2）求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象可知，當(dāng)t=$\frac{6}{5}$時，點(diǎn)M落在AB邊上，根據(jù)△BPM∽△BCA，得到比例式，計算求出a，根據(jù)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，DQ∥BC，求出m；
（2）分0＜t≤$\frac{6}{5}$、$\frac{3}{2}$＜t＜2、2＜t＜3三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解（1）由圖象得：當(dāng)t=$\frac{6}{5}$時，點(diǎn)M落在AB邊上，如圖3所示，
CP=$\frac{6}{5}$×2a=$\frac{12}{5}$a，CQ=$\frac{6}{5}$a，
∵△BPM∽△BCA，
∴$\frac{PM}{CA}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{\frac{6}{5}a}{3}$=$\frac{4-\frac{12}{5}a}{4}$，
解得：a=1，
根據(jù)題意得，當(dāng)QM過點(diǎn)D時，t=m，如圖4所示，
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，DQ∥BC，
∴點(diǎn)Q為AC中點(diǎn)
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴m=$\frac{3}{2}$；
（2）當(dāng)0＜t≤$\frac{6}{5}$時，如圖5，CD與QM的交點(diǎn)是點(diǎn)G，
∵△CQG∽△ACB，
∴$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{QG}{CB}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{QG}{4}$，
整理得：QG=$\frac{4}{3}$t，
∴S_△CQG=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{4}{3}$t=$\frac{2}{3}$t²，
∴y=2t²-$\frac{2}{3}$t²=$\frac{4}{3}$t^2，
當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t＜2時，如圖5，PM與BD交點(diǎn)是H，
∴△BHP∽△BAC，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{HP}{AC}$，即$\frac{BP}{4}$=$\frac{HP}{3}$，
∴HP=$\frac{3}{4}$BP，
∴y=S_△BCD-S_△BHP=3-$\frac{1}{2}$BP•$\frac{3}{4}$BP=3-$\frac{3}{8}$BP²=3-$\frac{3}{8}$（4-2t）²=-$\frac{3}{2}$t²+6t-3；
當(dāng)2＜t＜3時，同理得到y(tǒng)=3-$\frac{3}{8}$（2t-4）²=-$\frac{3}{2}$t²+6t-3．

點(diǎn)評 本題考查的是動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確讀懂函數(shù)圖象、正確運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．