Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b（k≠0）與反比例函數y＝（m≠0）的圖象交于第二、四象限A、B兩點，過點A作AD⊥x軸于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且點B的坐標為（n，﹣2）．

（1）求一次函數與反比例函數的解析式；

（2）請直接寫出滿足kx+b＞的x的取值范圍；

（3）E是y軸上一點，且△AOE是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的E點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣x+1；（2）x＜﹣3或0＜x＜6；（3）點P的坐標為P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）

【解析】

（1）先利用三角函數求出OD，得出點A坐標，進而求出反比例函數解析式，進而求出點B坐標，將點A，B坐標代入直線解析式中，建立方程組，求解即可得出結論；

（2）根據圖象直接得出結論；

（3）設出點E坐標，進而表示出AE，OE，再分OA=OE，OA=AE，OE=AE三種情況，建立方程求解即可得出結論．

∵AD⊥x軸，

∴∠ADO＝90°，

在Rt△AOD中，AD＝4，

∴sin∠AOD＝＝＝，

∴OA＝5，根據勾股定理得，OD＝3，

∵點A在第二象限，

∴A（﹣3，4），

∵點A在反比例函數y＝的圖象上，

∴m＝﹣3×4＝﹣12，

∴反比例函數解析式為y＝﹣，

∵點B（n，﹣2）在反比例函數y＝﹣上，

∴﹣2n＝﹣12，

∴n＝6，

∴B（6，﹣2），

∵點A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直線y＝kx+b上，

∴，

∴，

∴一次函數的解析式為y＝﹣x+1；

（2）由圖象知，滿足kx+b＞的x的取值范圍為x＜﹣3或0＜x＜6；

（3）設點E的坐標為（0，a），

∵A（﹣3，4），O（0，0），

∴OE＝|a|，OA＝5，AE＝，

∵△AOE是等腰三角形，

∴①當OA＝OE時，|a|＝5，

∴a＝±5，

∴P（0，5）或（0，﹣5），

②當OA＝AE時，5＝，

∴a＝8或a＝0（舍），

∴P（0，8），

③當OE＝AE時，|a|＝，

∴a＝，

∴P（0，），

即：滿足條件的點P的坐標為P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．