Question

【題目】如圖，將小正方形AEFG繞大正方形ABCD的頂點A順時針旋轉一定的角度α（其中0°≤α≤90°），連接BG、DE相交于點O，再連接AO、BE、DG．王凱同學在探究該圖形的變化時，提出了四個結論：

①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE，其中結論正確的個數有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

由“SAS”可證△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，即可判斷①；設點DE與AB交于點P， 由∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，即可判斷②；過點A作AM⊥DE，AN⊥BG，易證DE×AM＝×BG×AN，從而得AM＝AN，進而即可判斷③；過點G作GH⊥AD，過點E作EQ⊥AD，由“AAS”可證△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，即可判斷④．

∵∠DAB＝∠EAG＝90°，

∴∠DAE＝∠BAG，

又∵AD＝AB，AG＝AE，

∴△DAE≌△BAG（SAS），

∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，

故①符合題意，

如圖1，設點DE與AB交于點P，

∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，

∴∠DAP＝∠BOP＝90°，

∴BG⊥DE，

故②符合題意，

如圖1，過點A作AM⊥DE，AN⊥BG，

∵△DAE≌△BAG，

∴S△DAE＝S△BAG，

∴DE×AM＝×BG×AN，

又∵DE＝BG，

∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，

∴AO平分∠DOG，

∴∠AOD＝∠AOG，

故③符合題意，

如圖2，過點G作GH⊥AD交DA的延長線于點H，過點E作EQ⊥AD交DA的延長線于點Q，

∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°，

∴∠AEQ＝∠GAQ，

又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，

∴△AEQ≌△GAH（AAS）

∴AQ＝GH，

∴AD×GH＝AB×AQ，

∴S△ADG＝S△ABE，

故④符合題意，

故選：D．