Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點B(12，10)，過點B作x軸的垂線，垂足為A．作y軸的垂線，垂足為C．點D從O出發，沿y軸正方向以每秒1個單位長度運動；點E從O出發，沿x軸正方向以每秒3個單位長度運動；點F從B出發，沿BA方向以每秒2個單位長度運動．當點E運動到點A時，三點隨之停止運動，運動過程中△ODE關于直線DE的對稱圖形是△O′DE，設運動時間為t．

（1）用含t的代數式分別表示點E和點F的坐標；

（2）若△ODE與以點A，E，F為頂點的三角形相似，求t的值；

（3）當t＝2時，求O′點在坐標．

Answer 1

【答案】（1）E(3t，0)，F(12，10﹣2t)；（2）t＝；（3）O'(，)

【解析】

（1）直接根據路程等于速度乘以時間，即可得出結論；

（2）先判斷出∠DOE＝∠EAF＝90°，再分兩種情況，用相似三角形得出比例式，建立方程求解，最后判斷即可得出結論；

（3）先根據勾股定理求出DE，再利用三角形的面積求出OG，進而求出OO'，再判斷出△OHO'∽△EOD，得出比例式建立方程求解即可得出結論．

解：（1）∵BA⊥x軸，CB⊥y軸，B（12，10），

∴AB＝10，

由運動知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4），

∴AF＝10﹣2t，

∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；

（2）由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t，

∴AE＝12﹣3t，

∵BA⊥x軸，

∴∠OAB＝90°＝∠AOC，

∵△ODE與以點A，E，F為頂點的三角形相似，

∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE，

①當△DOE∽△EAF時，，

∴，

∴t＝，

②當△DOE∽△FAE時，，

∴，

∴t＝6（舍），

即：當△ODE與以點A，E，F為頂點的三角形相似時，t＝秒；

（3）如圖，

當t＝2時，OD＝2，OE＝6，

在Rt△DOE中，根據勾股定理得，DE＝2，

連接OO'交DE于G，

∴OO'＝2OG，OO⊥DE，

∴S△DOE＝ODOE＝DEOG，

∴OG＝＝＝，

∴OO'＝2OG＝，

∵∠AOC＝90°，

∴∠HOO'+∠AOO'＝90°，

∵OO'⊥DE，

∴∠OED+∠AOO'＝90°，

∴∠HOO'＝∠OED，

過點O'作O'H⊥y軸于H，

∴∠OHO'＝90°＝∠DOE，

∴△OHO'∽△EOD，

∴，

∴，

∴OH＝，O'H＝，

∴O'（，）．