Question

【題目】如圖，已知、、、、是上五點，的直徑，．為的中點，延長到點．使，連接．

(1)求線段的長；

(2)求證：直線是的切線．

(3)如圖，連交于點，延長交PO交于另一點，連、，求的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接DE，如圖，利用圓周角定理得∠DEB=60°，再根據圓周角定理得到∠BDE=90°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系計算BD的長；
（2）根據圓周角定理得到∠BAE=90°，而A為的中點，則∠ABE=45°，再根據等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP為等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根據切線的判定定理得到結論；

（3）由切線的性質得出∠PEF=∠PCE，則△PEF∽△PCE，由相似三角形的性質可得，在Rt△PEO中，利用勾股定理求出PO的長，即可得出的值，再根據圓周角定理得到∠CEF=90°，即可得出的值．

（1）解：連接DE，如圖，

∵∠BAD =60°，
∴∠DEB=∠BAD =60°，
∵BE為直徑，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）證明： ∵BE為直徑，
∴∠BAE=90°，

∴EA⊥BA，
∵A為的中點，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP為等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直線PE是⊙O的切線；

（3）解：由（2）得△BEP為等腰直角三角形，

∴PE=BE=2，

∵BE為直徑，

∴OE=OC=，

∵直線PE是⊙O的切線，CF為直徑，

∴∠PEF+∠OEF =∠CEO+∠OEF=90°，

∴∠PEF=∠CEO，

∵OC=OE，

∴∠PCE=∠CEO，

∴∠PEF=∠PCE，

∵∠EPF=∠CPE，

∴△PEF∽△PCE，

∴，

在Rt△PEO中，=，

∴PC=PO+OC=+，

∵CF為直徑，
∴∠CEF=90°，

∴==．