Question

【題目】在直角坐標系中，O為原點，A（0，4），點B在直線y=kx+6（k＞0）上，若以O、A、B為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，k的值為（ ）
A.
B.
C.3
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：以點A，O，B為頂點的三角形是直角三角形，
當直角頂點是A和O時，直線y=kx+6上各存在一個點B滿足條件，
要以O、A、B為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，直角頂點是B的△AOB只需存在一個，
所以，以OA為直徑的圓C與直線y=kx+6相切，
如圖，
設切點為B，直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點B'、D，連接CB，
在y=kx+6中令y=0，得x=6，
∴OD=6，且OC= OA=2，
∴CD=4，
在Rt△CDB中，BC=2，CD=4，
∴sin∠BDC= = ，
∴∠ODB'=30°，
在Rt△OB'D中，∠ODB'=30°，OD=6，
∴tan∠ODB'= ，
∴tan30°= ，
∴OB'=6tan30°=2 ，
∵k＞0，
∴B'（﹣2 ，0），
將點B'（﹣2 ，0）代入y=kx+6中，得，﹣2 k+6=0，
∴k= ，
故選A．

【考點精析】關于本題考查的直線與圓的三種位置關系和銳角三角函數的定義，需要了解直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數才能得出正確答案．