Question

【題目】如圖，數軸上點A，B表示的有理數分別為﹣6，3，點P是射線AB上一個動點（不與點A，B重合）．M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．

（1）若點P表示的有理數是0，那么MN的長為　 　；若點P表示的有理數是6，那么MN的長為　 　．

（2）點P在射線AB上運動（不與點A，B重合）的過程中，MN的長是否發生改變？若不改變，請寫出求MN的長的過程；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；6；（2）MN的長不會發生改變，理由見解析

【解析】

（1）若點P表示的有理數是0，則AP＝6，BP＝3，根據題意先求出MP和NP，從而求出MN；若點P表示的有理數是6，則AP＝12，BP＝3，根據題意先求出MP和NP，從而求出MN；

（2）設點P表示的數是a（a＞﹣6且a≠3），然后根據點P的位置分類討論：當﹣6＜a＜3時，AP＝a+6，BP＝3﹣a，根據題意先求出MP和NP，從而求出MN；當a＞3時，AP＝a+6，BP＝a﹣3，根據題意先求出MP和NP，從而求出MN.

解：（1）若點P表示的有理數是0（如圖1），則AP＝6，BP＝3．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．

∴MP＝AP＝4，NP＝BP＝2，

∴MN＝MP+NP＝6；

若點P表示的有理數是6（如圖2），則AP＝12，BP＝3．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．

∴MP＝AP＝8，NP＝BP＝2，

∴MN＝MP﹣NP＝6．

故答案為：6；6．

（2）MN的長不會發生改變，理由如下：

設點P表示的數是a（a＞﹣6且a≠3）．

當﹣6＜a＜3時（如圖1），AP＝a+6，BP＝3﹣a．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．

∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（3﹣a），

∴MN＝MP+NP＝6；

當a＞3時（如圖2），AP＝a+6，BP＝a﹣3．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．

∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（a﹣3），

∴MN＝MP﹣NP＝6．

綜上所述：點P在射線AB上運動（不與點A，B重合）的過程中，MN的長為定值6．