Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，⊙A的半徑為1，圓心A點的坐標為（2，1）．直線OM是一次函數y=－x的圖象．將直線OM沿x軸正方向平行移動．

（1）填空：直線OM與x軸所夾的銳角度數為 °；

（2）求出運動過程中⊙A與直線OM相切時的直線OM的函數關系式；（可直接用（1）中的結論）

（3）運動過程中，當⊙A與直線OM相交所得的弦對的圓心角為90°時，直線OM的函數關系式．

Answer 1

【答案】(1)45;(2) y=－x+3－或y=－x+3+;(3) y=－x+2或y=－x+4．

【解析】

（1）利用直線y＝x上點的坐標特征易得直線y＝x為第二、三四象限的角平分線，則直線OM與x軸所夾的銳角度數為45°；

（2）如圖1中，設⊙A與x軸相切于點C，平移后的直線OM與⊙A相切于點E，交x軸于P，連接AE，AC，作ED⊥AC于D．求出點E坐標，利用待定系數法即可解決問題，再根據對稱性解決另一種相切情形；

（3）當平移后的直線OM經過點C（⊙A與x軸的切點）時，弦EC所對的圓心角為90°，此時直線EC的解析式為y＝x＋2．再根據對稱性解決另一種情形.

解：（1）∵直線y=－x上點到x軸和y軸的距離相等，

∴直線y=x為第二、四象限的角平分線，

∴直線OM與x軸所夾的銳角度數為45°；

故答案為45．

（2）如圖1中，設⊙A與x軸相切于點C，平移后的直線OM與⊙A相切于點E，交x軸于P，連接AE，AC，作ED⊥AC于D．

∵∠OPE=45°，

∴∠EPC=135°，

∵∠AEP=∠ACP=90°，

∴∠EAD=45°，

∵AE=1，

∴AD=DE=

∴CD=1－

∴E（2－，1－），

設直線PE的解析式為y=－x+b，

則有1－=－（2－）+b，

∴b=3－，

∴平移后直線OM的解析式為y=－x+3－．

根據對稱性可知，直線PE向右平移個單位直線與⊙A相切于點E′，此時直線OM的解析式為y=－x+3+．

綜上所述，運動過程中⊙A與直線OM相切時的直線OM的函數關系式為y=－x+3－或y=－x+3+．

（3）當平移后的直線OM經過點C（⊙A與x軸的切點）時，弦EC所對的圓角為90°，此時直線EC的解析式為y=－x+2．

根據對稱性可知，當直線EC繼續向右平移2個單位，與⊙A交于點D，E′，此時∠DAE′=90°，此時直線的解析式為y=－x+4．

綜上所述，滿足條件的直線OM的解析式為：y=－x+2或y=－x+4．