Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC于點D，tan∠ACD＝2，以D為圓心，DC為半徑作⊙D，交AD于點G，F是AB的中點，連接GF．

（1）求證：GF是⊙D的切線；

（2）連接CG并延長交AB于點H，若AH＝2，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2．

【解析】

（1）先證明G為AD的中點，可得GF為△ABD的中位線，則可證明∠AGF=90°；

（2）只要證明：△ADB，△CGD，△AGH都是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性質即可解決問題；

（1）證明：∵tan∠ACD＝，AD⊥BC，

∴AD＝2CD＝2GD，

∴G為AD的中點，

又∵F為AB的中點，

∴GF∥BD，

∵AD⊥BC，

∴∠AGF＝90°，

∴GF是⊙D的切線；

（2）解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∵∠B＝45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠DAB＝45°

∵GD＝CD，∠GDC＝90°，

∴△CGD是等腰直角三角形，

∴∠GCD＝45°

∴∠AHC＝90°，

∴△AGH是等腰直角三角形，

∵AH＝2，

∴HG＝2，AG＝2．

∴GD＝2，

∴CG＝4，

∴HC＝6，

∴AC＝＝2．