Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n．

（1）若m＝4，矩形ABCD的邊CD上是否存在點P，使得∠APB＝90°？寫出點P存在或不存在的可能情況和此時n滿足的條件．

（2）矩形ABCD的邊上是否存在點P，使得∠APB＝60°？寫出點P存在或不存在的可能情況和此時m、n滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）①當0＜n＜2時，CD上存在2個點P，使得∠APB＝90°；②當n＝2時，CD上存在1個點P，使得∠APB＝90°；③當n＞2時，CD上不存在滿足條件的點P；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據直角的定義與矩形的關系作圖即可分析；

（2）根據含30°的直角三角形的性質結合圖形即可求解.

（1）①如圖，當0＜n＜2時，CD上存在2個點P，使得∠APB＝90°；

②如圖當n＝2時，CD上存在1個點P，使得∠APB＝90°；

③如圖當n＞2時，CD上不存在滿足條件的點P．

（2）①如圖，當=tan60°=時，n＝m時，矩形ABCD的邊上存在2個點P，使得∠APB＝60°；

②故當n＜m時，矩形ABCD的邊上不存在點P，使得∠APB＝60°；

③如圖，當△ABP為等邊三角形時，當 =tan60°=，即n＝m時，矩形ABCD的邊上存在3個點P，使得∠APB＝60°；

④如圖，故當m＜n＜m時，矩形ABCD的邊上存在4個點P，使得∠APB＝60°；

⑤如圖，當n＞m時，矩形ABCD的邊上存在2個點P，使得∠APB＝60°．