Question

【題目】△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C＝90°，AC＝BC＝2，在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形稱為第1次剪取，記所得正方形面積為S1（如圖1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分別剪取一個盡可能大的正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為S2（如圖2）；繼續操作下去…；第2019次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，可求得S△AED+S△DBF＝S正方形ECFD＝S1＝1，同理可得規律：Sn即是第n次剪取后剩余三角形面積和，根據此規律求解即可答案．

∵四邊形ECFD是正方形，

∴DE＝EC＝CF＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠B＝45°，

∴AE＝DE＝EC＝DF＝BF＝EC＝CF，

∵AC＝BC＝2，

∴DE＝DF＝1，

∴S△AED+S△DBF＝S正方形ECFD＝S1＝1；

同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面積和，

Sn即是第n次剪取后剩余三角形面積和，

∴第一次剪取后剩余三角形面積和為：2﹣S1＝1＝S1，

第二次剪取后剩余三角形面積和為：S1﹣S2＝1﹣＝＝S2，

第三次剪取后剩余三角形面積和為：S2﹣S3＝﹣＝＝S3，

…

第n次剪取后剩余三角形面積和為：Sn﹣1﹣Sn＝Sn＝．則s2019＝；

故答案為：．