Question

【題目】已知函數f（x）=ln2（x﹣1）﹣ ﹣x+3． （Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若當x≥1時，不等式（x+1）x+m≤exx+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ln2（x﹣1）﹣ ﹣x+3， 得f′（x）= ln（x﹣1）+ ﹣1=
= （x﹣1＞0），
令g（x）=2（x﹣1）ln（x﹣1）﹣x2+2x，
g′（x）=2ln（x﹣1）+2﹣2x+2=2ln（x﹣1）﹣2x+4，
再令t（x）=2ln（x﹣1）﹣2x+4，
t′（x）= ，當x∈（1，2）時，t′（x）＞0，t（x）為增函數，
當x∈（2，+∞）時，t′（x）＜0，t（x）為減函數，
∴t（x）max=t（2）=0，
∴g′（x）≤0，則g（x）在（1，+∞）上為減函數，
又當x→1+時，g（x）→﹣∞，
∴f′（x）＜0，
則f（x）在（1，+∞）上為單調減函數；
（Ⅱ）由（x+1）x+m≤exx+m恒成立，即（x+m）ln（x+1）≤1+（x+m）lnx恒成立，
∴（x+m）ln ≤1，也即x+m ，
∴m 對x≥1恒成立．
令h（x）= ，
則h′（x）= ＜0（x≥1），
∴h（x）在[1，+∞）上為減函數，則h（x）≤h（1）=﹣ln2﹣1，
又當x→+∞時，h（x）→﹣∞，
∴h（x）在[1，+∞）上無最小值，
則滿足m 對x≥1恒成立的m不存在．
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，可得f′（x）= （x﹣1＞0），令g（x）=2（x﹣1）ln（x﹣1）﹣x2+2x，求導可得g′（x）=2ln（x﹣1）+2﹣2x+2=2ln（x﹣1）﹣2x+4，再令t（x）=2ln（x﹣1）﹣2x+4，利用導數求得t（x）max=t（2）=0，得g′（x）≤0，則g（x）在（1，+∞）上為減函數，進一步說明f′（x）＜0，得到f（x）在（1，+∞）上為單調減函數；（Ⅱ）由（x+1）x+m≤exx+m恒成立，即（x+m）ln（x+1）≤1+（x+m）lnx恒成立，分離參數m，可得m 對x≥1恒成立．令h（x）= ，由導數求其值域，可知h（x）在[1，+∞）上無最小值，則滿足m 對x≥1恒成立的m不存在．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．