Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ax（a＞0，且a≠1）．
（1）當a=e，x取一切非負實數時，若 ，求b的范圍；
（2）若函數f（x）存在極大值g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=e時，f（x）=x﹣ex，

原題分離參數得 恒成立，

令g（x）= x2+x﹣ex，g′（x）=x+1﹣ex，g″（x）=1﹣ex＜0，

故g′（x）在[0，+∞）遞減，g′（x）＜g′（0）=0，

故g（x）在[0，+∞）遞減，

g（x）≤g（0）=﹣1，

故b≥﹣1；

（2）解：f'（x）=1﹣axlna，

①當0＜a＜1時，ax＞0，lna＜0，

所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上為單增函數，無極大值；

②當a＞1時，設方程f'（x）=0的根為t，

則有 ，即 ，

所以f（x）在（﹣∞，t）上為增函數，在（t，+∞）上為減函數，

所以f（x）的極大值為 ，

即 ，因為a＞1，所以 ，

令 則 ，

設h（x）=xlnx﹣x，x＞0，則 ，

令h'（x）=0，得x=1，

所以h（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，

所以h（x）得最小值為h（1）=﹣1，

即g（a）的最小值為﹣1，

此時a=e．

【解析】（1）問題轉化為 恒成立，令g（x）= x2+x﹣ex ， 根據函數的單調性求出b的范圍即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出g（a）的表達式，根據函數的單調性求出g（a）的最小值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．