Question

如圖AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C.

（1）若AB＝2，∠P＝30°，求AP的長；
（2）若D為AP的中點，求證：直線CD是⊙O的切線.

Answer 1

（1）2  （2）證明見解析

（1）解：∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，
∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°；
又∵AB＝2，∠P＝30°，
∴AP＝＝＝2，
即AP＝2.
（2）證明：如圖，連接OC，OD、AC.

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°（直徑所對的圓周角是直角），∴∠ACP＝90°；
又∵D為AP的中點，
∴AD＝CD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD（全等三角形的對應角相等）；
又∵AP是⊙O的切線，A是切點，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，即直線CD是⊙O的切線.